שיעור 92 – היפרבולה – נקודה על ההיפרבולה ומרחקים מהמוקדים

לכל נקודה P על ההיפרבולה, ההפרש בין המרחקים שלה מהמוקדים קבוע ושווה לאורך הציר הממשי:

על הענף הימני הנקודה קרובה יותר ל־F₂ , ולכן PF₁ − PF₂ = 2a . על הענף השמאלי – הפוך: PF₂ − PF₁ = 2a .

הנקודה הקרובה ביותר למוקד הימני על הענף הימני היא הקודקוד (a , 0) , ולכן המרחק הקטן ביותר מ־F₂ לענף הימני הוא c − a .

כשהזווית F₁PF₂ ישרה, אפשר לעבוד עם שיפועים (m₁ · m₂ = −1), או לזכור שאז P נמצאת על המעגל שקוטרו F₁F₂ .

מתוך המכנים:

הנקודה על הענף הימני, ולכן היא רחוקה יותר מ־F₁ :

נציב PF₂ = 4 :

המרחק בין המוקדים (−5 , 0) ו־(5 , 0) הוא 2c = 10 . היקף המשולש הוא סכום שלוש הצלעות:

המרחק הקטן ביותר מ־F₂(5 , 0) לנקודה על הענף הימני הוא המרחק לקודקוד (3 , 0) :

כל נקודה אחרת על הענף הימני רחוקה יותר. מכיוון ש־1 < 2 , אין על הענף הימני נקודה במרחק 1 מ־F₂ .

נסמן P(x , y) . נכתוב את השיפועים של PF₁ ושל PF₂ :

הישרים מאונכים:

קיבלנו מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו 5 – המעגל שקוטרו F₁F₂ (בתכלת בסקיצה). הנקודה P צריכה להיות גם על ההיפרבולה. מהמעגל:

נכתוב את משוואת ההיפרבולה ונסמן את y² :

נציב y² = 25 − x² :

כופלים את שני הצדדים ב־144 (המכנה המשותף של 9 ו־16):

נציב x² = 36925 ב־y² = 25 − x² :

ארבע נקודות, אחת בכל רביע. בסקיצה: ההיפרבולה בכחול, המעגל בתכלת והמשולש PF₁F₂ בסגול.

הנקודה ברביע הראשון: P(3√415 , 165) . הבסיס F₁F₂ מונח על ציר ה־x , ואורכו 10. הגובה לבסיס הוא שיעור ה־y של P :

אפשר גם לבדוק עם הניצבים (זווית ישרה ב־P): השטח הוא PF₁ · PF₂2 – ויוצא אותו מספר.